가르반-바르가스 추측은 양자 혼돈, 브라운 운동, 공기 난류 등 광범위한 분야에서 발견되는 무작위성의 행동을 다룹니다.
가우시안 곱셈 카오스 (GMC)
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수학자들은 ‘가우시안 곱셈 카오스(Gaussian Multiplicative Chaos, GMC)’라는 수학적 “측정 테이프”를 사용하여 복잡한 무작위성 속 숨겨진 미묘한 패턴을 식별합니다.
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GMC는 소수(prime numbers)의 패턴을 찾는 데도 사용될 만큼 확률 이론에서 매우 중요하고 근본적인 개념입니다.
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이는 다양한 스케일에서 소용돌이치는 난류 유체처럼, 무작위적 변동이 모든 관찰 스케일에 걸쳐 지속되는 다중 스케일 무작위성을 측정하는 수학적 모델입니다. 이 때문에 종종 프랙탈 측정(fractal measure)이라고 불립니다.
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GMC가 지배하는 무작위성 유형에서는 가장 작은 스케일의 사건들이 전체 시스템을 지배할 수 있으며, 이는 프랙탈 구조의 강력한 경향이 모든 수준의 혼돈을 형성함을 의미합니다.
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하지만 무작위성이 너무 강해지면 GMC 측정은 붕괴되는 임계 임계점(critical threshold)이 존재하며, 이는 혼돈의 중요한 상전이(phase transition)를 나타냅니다.
가르반-바르가스 추측의 탄생
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2023년 가르반과 바르가스는 조화 해석(harmonic analysis)이라는 수학 분야에서 GMC 혼돈을 연구하는 새로운 접근 방식을 도입했습니다.
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그들은 시스템의 복잡성(correlation dimension)과 패턴의 주파수(harmonic dimension)라는 두 가지 다른 물리적 설명을 일치시키려는 아이디어를 제시했습니다.
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원형 시스템에서 GMC를 연구한 후, 그들은 GMC 시스템의 상관 차원과 조화 차원을 일치시키는 매우 우아한 방정식을 추측으로 제시했지만, 증명에는 실패했습니다. 이 추측은 arXiv.org에 게시된 후 주요 미해결 문제로 남았습니다.
추측의 증명과 마팅게일 이론
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2024년 중국과학원 항저우 고등연구소의 자오펑 린(Zhaofeng Lin)과 옌치 추(Yanqi Qiu), 우한 대학의 밍지에 탄(Mingjie Tan)은 이 추측을 해결했습니다.
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그들은 GMC를 “공정한 베팅 게임”에 비유했는데, 이는 게임의 크기에 관계없이 예상되는 이득이 일정하게 유지되는 것을 의미합니다. 프랙탈 변동에 적용하면, 시스템이 확대 및 축소될 때 균형을 유지하며 각 작은 스케일이 에너지를 보존하는 방식으로 무작위성을 기여한다는 뜻입니다.
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수학자들은 이러한 공정하고 스케일별 행동을 보이는 과정을 마팅게일(martingale)이라고 부릅니다. 연구팀은 고차원 마팅게일 구조를 사용하여 모든 스케일에서 무작위성의 축적을 추적했고, 에너지를 보존함으로써 수많은 작은 “공정한 게임”이 가르반과 바르가스가 추측했던 것과 동일한 붕괴 공식을 제공함을 확인했습니다.