Ruby 도구를 활용한 정밀도 및 성능 향상
피보나치 수 계산의 한계를 극복하기 위해 Ruby의 다양한 기능이 활용됩니다.
- BigDecimal: 표준 부동 소수점 정밀도 문제를 해결하며, 임의 정밀도 연산을 통해 100번째 피보나치 수 이상까지 정확히 계산합니다. 성능 저하가 동반될 수 있습니다.
- Rational:
sqrt(5)를 연분수 근사치로 표현하여 부동 소수점 문제를 회피하고 1000번째 피보나치 수까지 정확도를 유지합니다. - 꼬리 호출 최적화(TCO): 재귀 알고리즘의
SystemStackError를 방지하기 위해RubyVM::InstructionSequence.compile_option을 설정, 스택 오버플로우 없이 수십만 번째 피보나치 수를 계산 가능하게 합니다.
고성능 계산을 위한 수학적 접근
더 큰 피보나치 수를 위한 고급 수학적 방법들이 소개됩니다.
- 행렬 곱셈 알고리즘: 피보나치 행렬 항등식을 활용하며, 반복 제곱(repeated squares) 알고리즘으로 행렬 거듭제곱 연산 횟수를 줄여 4천 5백만 번째 피보나치 수까지 효율적으로 계산합니다. Ruby의 비트 연산자 활용을 보여줍니다.
- 빠른 배가법(Fast Doubling Algorithm): 가장 효율적인 방법으로, $F_{2n+1} = F_{n+1}^2 + F_n^2$ 및 $F_{2n} = 2F_nF_{n+1} - F_n^2$ 공식을 사용해 한 번에 두 개의 피보나치 수를 계산합니다.
Hash의 기본 프로시저를 활용한 동적 계획법으로 중복 계산을 피하며, 10억 번째 피보나치 수도 몇 초 안에 계산할 수 있는 최적의 성능을 제공합니다.